Zobacz temat - [2010L]Ciągi i szeregi

Forum studentów informatyki UE Wrocław
Forum studentów informatyki UE Wroclaw

Analiza math - [2010L]Ciągi i szeregi

shawnzy - 2009-12-10, 20:48
Temat postu: [2010L]Ciągi i szeregi

hmm widząc wykłady prof Rybickiego, doszedłem do wniosku że może podam po parę przykładów z ciągów, szeregów i itp ;] bo sucha teoria nigdy do mnie nie przemawiała :-)

na początek może zbiór ważnych granic i itp:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ = \ e$
$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\ = \ e^{x}$
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\ = \ 0$
$\lim_{n\to\0} \frac{sinx}{x}\ = \ 1$
$\lim_{n\to\0} \frac{sin^{2}x}{x}\ = \ 0$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n} \ = \ \sqrt{a}$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[m]{a_n} \ =\ \sqrt[m]{a}$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\ = \ 1$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}\ = \ 1$
$\lim_{n\to\0} \ (1+x)^{\frac{1}{x}} \ = \epsilon$
$\lim_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{n!} \ = \ +\infty$
$\lim_{n\to\infty} \ \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \ = \ \epsilon$

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}$ jest rozbieżny (z tego samego powodu co ciąg, który w zależności od parzystości n, zbiega do 1 lub -1)
$\sum_{n=1}^{\infty} \ q^{n}\ <=> \ |q| <1$ zbieżny
$\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n!} \ = \ \epsilon$

$a_{n} = \frac{1}{n^{p}}, \ p \in R$

dla p <= 1 -> szereg rozbieżny
dla p > 1 -> szereg zbieżny

istnienie tych granic przyjmuje się jako aksjomat (chyba tak to się mówiło :-P

)

1) zbieżność ciągu

$a_{n} = \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}-1}$
więc licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę mianownika i otrzymujemy

$\frac{1 + \ \frac{2}{n^{2}}}{2 - \ \frac{1}{n^{2}}$

teraz wiemy (tzn. trzeba się tego nauczyć na pamieć), że ciąg postaci $\frac{1}{n}$ (przy czym n może być do dowolnej potęgi) przy n dążącym do nieskończoności jest zbieżny do 0;
$\frac{2}{n^{2}} \ = \ 2*\frac{1}{n}*\frac{1}{n} \ ->\ 2 * 0 * 0 = 0)$

więc $\frac{1 + \ \frac{2}{n^{2}}}{2 - \ \frac{1}{n^{2}}$ = $\ \frac{1}{2}$

podsumowując: $a_{n} = \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}-1}$ jest zbieżny do $\frac{1}{2}$

2)Granica ciągu

$\lim_{x\to\3} \frac{27-x^{3}}{x-3}$ -> $\lim_{x\to\3} \frac{(3 -x)(3^{2} + 3x + x^{2})}{x-3}$ => $- \ \lim_{x\to\3}(3^{2} + 3x + x^{2})$

teraz za x podstawiamy 3, czyli => $-3^{2} - 3*3 + 3^{2} = -27$
Odp: Granica ciągu an wynosi -27.

3) Warunek Cauchy'ego dla ciągów

a) $a_{n} = (-1)^{n}$ - nie spełnia war. Cauchy'ego bo nie jest zbieżny, tzn. jest zbieżny do dwóch granic: -1 i 1, ale ciąg żeby spełniać war. Cauchy'ego musi być zbieżny do jednej granicy

b) $a_{n} = \frac{n-1}{n}$ - spełnia war. Cauchy'ego, korzystamy z definicji

| $a_{m} - a{n}| = | \frac{m-1}{m} - \frac{n-1}{n}| = | \frac{mn - n - mn + n}{mn}| = \frac{m-n}{mn}$

teraz możemy ograniczyć nasz ciąg z góry tzn. ciągiem o wartościach większych niż nasz =>
$\frac{m-n}{mn} \ < \ \frac{m}{mn} (czyli \ po \ skroceniu \ \frac{1}{n}$ )

i teraz jak ograniczyliśmy nasz ciąg ciągniem $\frac{1}{n}$ zapisujemy, $\frac{1}{n} = \epsilon$ i wyliczamy z tego n = > n = [ $\frac{1}{e}$ ] + 1
Wtedy jeżeli, m,n >= n to $\frac{1}{m} \ i \ \frac{1}{n} \ < \ \epsilon$ i warunek Cauche'go jest spełniony.

4) Szeregi

Def: Jeżeli ciąg an ma granicę S, to mówimy że szereg an jest zbieżny i jego suma wynosi S.

$S_{n}$ - ciąg sum częściowych
S = $\lim_{n\to\infty} S_{n}$

$a_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$

$S_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + ... + \left(\frac{2}{3}\right)^{n} = \frac{2}{3} \ * \ \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}{1-\frac{2}{3}$ $\rightarrow n-> \infty \quad \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2$ , czyli

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} = 2$

Kryteria zbieżności szeregów
Kryterium porównawcze

$\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n^{2}+2n} \quad \geq \frac{1}{n^{2}+2n^{2}} = \frac{1}{3} * \frac{1}{n^{2}}$ , a $\frac{1}{n^{2}}$ jest zbieżny

Kryterium d'Alemberta
Niech an będzie ciągiem o wyrazach różnych od zera. Wtedy:
Jeżeli $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n} +1}{a_{n}}| \ < \ 1$ to szereg jest zbieżny
Jeżeli $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n} +1}{a_{n}}| \ > \ 1$ to szereg jest rozbieżny
Jeżeli $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n} +1}{a_{n}}| \ = \ 1$ kryterium nie rozstrzyga zbieżności

$\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n!} \ , mamy\ a_{n} = \frac{1}{n!}, \ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}$

$\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$ , przy n dążącym do $\infty$ wynosi 0.

więc z kr. d'Alemberta $\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n!}$ jest zbieżny.

Kryterium Leibniza
Jeżeli ciąg an jest malejący i $\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0$ to szereg naprzemienny jest zbieżny.

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}( \sqrt[n]{2}\ -1)$

Wystarczy pokazać, że ciąg współczynników $\lim_{n\to\infty} a_{n} = \sqrt[n]{2}\ -1$ jest malejący i zbieżny do 0. Wiemy, że $\sqrt[n]{2}$ zbiega do 1. Sprawdźmy, czy jest malejący:

$\sqrt[n]{2} -1 \ \geq \ \sqrt[n+1]{2} -1$
$\sqrt[n]{2} \ \geq \ \sqrt[n+1]{2}$ i podnosimy obustronnie do potęgi: n+1
$2^{n+1} \ \geq \ 2^{n}$

Szereg jest więc zbieżny.

Kryterium Cauch'ego

Niech g = $\lim_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{|a_{n}|}$

Jeżeli g < 1 to szereg jest zbieżny
Jeżeli g > 1 to szereg jest rozbieżny
Jeżeli g = 1 to kryterium nie rozstrzyga zbieżności

$\sum_{n=1}^{\infty} \ \ \frac{n^{2}}{3^{n}} \\ a_{n} = \frac{n^{2}}{3^{n}} > 0 \\ \sqrt[n]{\frac{n^{2}}{3^{n}}} \ = \ \frac{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{2}}{3}$ przy n -> $\infty = \frac{1}{3} \ < \ 1$ czyli szereg jest zbieżny.

** Jeżeli szereg $\sum_{n=1}^{\infty} \ |a_{n}|$ (wartość bezwzględna) jest zbieżny, to mówimy, że szereg $\sum_{n=1}^{\infty} \ a_{n}$ jest zbieżny absolutnie.
** Jeżeli szereg $\sum_{n=1}^{\infty} \ a_{n}$ jest zbieżny, ale nie jest zbieżny absolutnie ( $\sum_{n=1}^{\infty} \ |a_{n}|$ ) to mówimy, że $\sum_{n=1}^{\infty} \ a_{n}$ jest zbieżny warunkowo.

Edit:
Kryterium Raabego
$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \ > \ 1 \Rightarrow$ szereg ∑an jest zbieżny

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \ < \ 1 \Rightarrow$ szereg ∑an jest rozbieżny

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \ = \ 1 \Rightarrow$ kryterium nie rozstrzyga

ps. mam nadzieję, że komuś się to przyda ;] (4h klepania w texie :shock:

, doceńcie to :-P

)

Lukaszprzy - 2009-12-10, 20:54

Doceniam!
Nie wiem w jakim celu rozpisywał klasyczne wyprowadzenia wzorów, skoro są one niepotrzebne i cały dodatkowy wykład można było zapisac w kilku wzorach

agnieszkaosw - 2009-12-10, 21:21

omg. SUPER :) Dzięki

Sav1ola - 2009-12-10, 22:41

dzięki ;)

Kocur - 2009-12-13, 15:48

shawzy, a tam chyba brakuje jeszcze tych dwóch kryteriów Raabego i Cammera?? dopisz jak byś mógł:) to będzie wszytko w jednym miejscu ...ogólnie thx bo skorzystałem bo moje notatki z ostatnich zajęć wyglądają tragicznie i nic nie trzyma się kupy:)

shawnzy - 2009-12-13, 15:58

Kocur, o.O no to żeś mnie teraz zagiął :-P

nie słyszałem i nie używałem nigdy takich kryteriów :-D

oczywiście (jeśli potrzeba) to mogę ich poszukać i coś wstawić ;]. Tam jeszcze jest kryterium o zagęszczaniu, ale jego się bardzo rzadko używa.

Kocur - 2009-12-13, 17:05

shawzy, No coś takiego mówił:) przynajmniej mam tak zapisane:)... widzę że dodałeś:) zawsze 1 do przodu:) gz i thx