Forum studentĂłw informatyki UE WrocĹaw :: Zobacz temat

shawnzy · Wysłany: 2009-12-10, 20:48 **[2010L]CiÄgi i szeregi**

hmm widzÄc wykĹady prof Rybickiego, doszedĹem do wniosku Ĺźe moĹźe podam po parÄ przykĹadĂłw z ciÄgĂłw, szeregĂłw i itp ;] bo sucha teoria nigdy do mnie nie przemawiaĹa :-)

na poczÄtek moĹźe zbiĂłr waĹźnych granic i itp:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ = \ e$
$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\ = \ e^{x}$
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\ = \ 0$
$\lim_{n\to\0} \frac{sinx}{x}\ = \ 1$
$\lim_{n\to\0} \frac{sin^{2}x}{x}\ = \ 0$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n} \ = \ \sqrt{a}$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[m]{a_n} \ =\ \sqrt[m]{a}$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\ = \ 1$
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}\ = \ 1$
$\lim_{n\to\0} \ (1+x)^{\frac{1}{x}} \ = \epsilon$
$\lim_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{n!} \ = \ +\infty$
$\lim_{n\to\infty} \ \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \ = \ \epsilon$

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}$ jest rozbieĹźny (z tego samego powodu co ciÄg, ktĂłry w zaleĹźnoĹci od parzystoĹci n, zbiega do 1 lub -1)
$\sum_{n=1}^{\infty} \ q^{n}\ <=> \ |q| <1$ zbieĹźny
$\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n!} \ = \ \epsilon$

$a_{n} = \frac{1}{n^{p}}, \ p \in R$

dla p <= 1 -> szereg rozbieĹźny
dla p > 1 -> szereg zbieĹźny

istnienie tych granic przyjmuje siÄ jako aksjomat (chyba tak to siÄ mĂłwiĹo :-P

)

1) zbieĹźnoĹÄ ciÄgu

$a_{n} = \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}-1}$
wiÄc licznik i mianownik dzielimy przez najwyĹźszÄ potÄgÄ mianownika i otrzymujemy

$\frac{1 + \ \frac{2}{n^{2}}}{2 - \ \frac{1}{n^{2}}$

teraz wiemy (tzn. trzeba siÄ tego nauczyÄ na pamieÄ), Ĺźe ciÄg postaci $\frac{1}{n}$ (przy czym n moĹźe byÄ do dowolnej potÄgi) przy n dÄĹźÄcym do nieskoĹczonoĹci jest zbieĹźny do 0;
$\frac{2}{n^{2}} \ = \ 2*\frac{1}{n}*\frac{1}{n} \ ->\ 2 * 0 * 0 = 0)$

wiÄc $\frac{1 + \ \frac{2}{n^{2}}}{2 - \ \frac{1}{n^{2}}$ = $\ \frac{1}{2}$

podsumowujÄc: $a_{n} = \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}-1}$ jest zbieĹźny do $\frac{1}{2}$

2)Granica ciÄgu

$\lim_{x\to\3} \frac{27-x^{3}}{x-3}$ -> $\lim_{x\to\3} \frac{(3 -x)(3^{2} + 3x + x^{2})}{x-3}$ => $- \ \lim_{x\to\3}(3^{2} + 3x + x^{2})$

teraz za x podstawiamy 3, czyli => $-3^{2} - 3*3 + 3^{2} = -27$
Odp: Granica ciÄgu an wynosi -27.

3) Warunek Cauchy'ego dla ciÄgĂłw

a) $a_{n} = (-1)^{n}$ - nie speĹnia war. Cauchy'ego bo nie jest zbieĹźny, tzn. jest zbieĹźny do dwĂłch granic: -1 i 1, ale ciÄg Ĺźeby speĹniaÄ war. Cauchy'ego musi byÄ zbieĹźny do jednej granicy

b) $a_{n} = \frac{n-1}{n}$ - speĹnia war. Cauchy'ego, korzystamy z definicji

| $a_{m} - a{n}| = | \frac{m-1}{m} - \frac{n-1}{n}| = | \frac{mn - n - mn + n}{mn}| = \frac{m-n}{mn}$

teraz moĹźemy ograniczyÄ nasz ciÄg z gĂłry tzn. ciÄgiem o wartoĹciach wiÄkszych niĹź nasz =>
$\frac{m-n}{mn} \ < \ \frac{m}{mn} (czyli \ po \ skroceniu \ \frac{1}{n}$ )

i teraz jak ograniczyliĹmy nasz ciÄg ciÄgniem $\frac{1}{n}$ zapisujemy, $\frac{1}{n} = \epsilon$ i wyliczamy z tego n = > n = [ $\frac{1}{e}$ ] + 1
Wtedy jeĹźeli, m,n >= n to $\frac{1}{m} \ i \ \frac{1}{n} \ < \ \epsilon$ i warunek Cauche'go jest speĹniony.

4) Szeregi

Def: JeĹźeli ciÄg an ma granicÄ S, to mĂłwimy Ĺźe szereg an jest zbieĹźny i jego suma wynosi S.

$S_{n}$ - ciÄg sum czÄĹciowych
S = $\lim_{n\to\infty} S_{n}$

$a_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$

$S_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2} + ... + \left(\frac{2}{3}\right)^{n} = \frac{2}{3} \ * \ \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}{1-\frac{2}{3}$ $\rightarrow n-> \infty \quad \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2$ , czyli

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} = 2$

Kryteria zbieĹźnoĹci szeregĂłw
Kryterium porĂłwnawcze

$\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n^{2}+2n} \quad \geq \frac{1}{n^{2}+2n^{2}} = \frac{1}{3} * \frac{1}{n^{2}}$ , a $\frac{1}{n^{2}}$ jest zbieĹźny

Kryterium d'Alemberta
Niech an bÄdzie ciÄgiem o wyrazach rĂłĹźnych od zera. Wtedy:
JeĹźeli $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n} +1}{a_{n}}| \ < \ 1$ to szereg jest zbieĹźny
JeĹźeli $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n} +1}{a_{n}}| \ > \ 1$ to szereg jest rozbieĹźny
JeĹźeli $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n} +1}{a_{n}}| \ = \ 1$ kryterium nie rozstrzyga zbieĹźnoĹci

$\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n!} \ , mamy\ a_{n} = \frac{1}{n!}, \ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}$

$\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$ , przy n dÄĹźÄcym do $\infty$ wynosi 0.

wiÄc z kr. d'Alemberta $\sum_{n=1}^{\infty} \ \frac{1}{n!}$ jest zbieĹźny.

Kryterium Leibniza
JeĹźeli ciÄg an jest malejÄcy i $\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0$ to szereg naprzemienny jest zbieĹźny.

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}( \sqrt[n]{2}\ -1)$

Wystarczy pokazaÄ, Ĺźe ciÄg wspĂłĹczynnikĂłw $\lim_{n\to\infty} a_{n} = \sqrt[n]{2}\ -1$ jest malejÄcy i zbieĹźny do 0. Wiemy, Ĺźe $\sqrt[n]{2}$ zbiega do 1. SprawdĹşmy, czy jest malejÄcy:

$\sqrt[n]{2} -1 \ \geq \ \sqrt[n+1]{2} -1$
$\sqrt[n]{2} \ \geq \ \sqrt[n+1]{2}$ i podnosimy obustronnie do potÄgi: n+1
$2^{n+1} \ \geq \ 2^{n}$

Szereg jest wiÄc zbieĹźny.

Kryterium Cauch'ego

Niech g = $\lim_{n\to\infty} \ \sqrt[n]{|a_{n}|}$

JeĹźeli g < 1 to szereg jest zbieĹźny
JeĹźeli g > 1 to szereg jest rozbieĹźny
JeĹźeli g = 1 to kryterium nie rozstrzyga zbieĹźnoĹci

$\sum_{n=1}^{\infty} \ \ \frac{n^{2}}{3^{n}} \\ a_{n} = \frac{n^{2}}{3^{n}} > 0 \\ \sqrt[n]{\frac{n^{2}}{3^{n}}} \ = \ \frac{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{2}}{3}$ przy n -> $\infty = \frac{1}{3} \ < \ 1$ czyli szereg jest zbieĹźny.

** JeĹźeli szereg $\sum_{n=1}^{\infty} \ |a_{n}|$ (wartoĹÄ bezwzglÄdna) jest zbieĹźny, to mĂłwimy, Ĺźe szereg $\sum_{n=1}^{\infty} \ a_{n}$ jest zbieĹźny absolutnie.
** JeĹźeli szereg $\sum_{n=1}^{\infty} \ a_{n}$ jest zbieĹźny, ale nie jest zbieĹźny absolutnie ( $\sum_{n=1}^{\infty} \ |a_{n}|$ ) to mĂłwimy, Ĺźe $\sum_{n=1}^{\infty} \ a_{n}$ jest zbieĹźny warunkowo.

Edit:
Kryterium Raabego
$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \ > \ 1 \Rightarrow$ szereg ∑an jest zbieĹźny

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \ < \ 1 \Rightarrow$ szereg ∑an jest rozbieĹźny

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \ = \ 1 \Rightarrow$ kryterium nie rozstrzyga

ps. mam nadziejÄ, Ĺźe komuĹ siÄ to przyda ;] (4h klepania w texie :shock:

, doceĹcie to :-P

)

Lukaszprzy · Wysłany: 2009-12-10, 20:54

Doceniam!
Nie wiem w jakim celu rozpisywaĹ klasyczne wyprowadzenia wzorĂłw, skoro sÄ one niepotrzebne i caĹy dodatkowy wykĹad moĹźna byĹo zapisac w kilku wzorach

agnieszkaosw · Dołączyła: 16 Sie 2009 Posty: 1045 Otrzymał 90 piw(a)

omg. SUPER :) DziÄki

Sav1ola · Wysłany: 2009-12-10, 22:41

dziÄki ;)

Kocur · Wysłany: 2009-12-13, 15:48

shawzy, a tam chyba brakuje jeszcze tych dwĂłch kryteriĂłw Raabego i Cammera?? dopisz jak byĹ mĂłgĹ:) to bÄdzie wszytko w jednym miejscu ...ogĂłlnie thx bo skorzystaĹem bo moje notatki z ostatnich zajÄÄ wyglÄdajÄ tragicznie i nic nie trzyma siÄ kupy:)

shawnzy · Wysłany: 2009-12-13, 15:58

Kocur, o.O no to ĹźeĹ mnie teraz zagiÄĹ :-P

nie sĹyszaĹem i nie uĹźywaĹem nigdy takich kryteriĂłw :-D

oczywiĹcie (jeĹli potrzeba) to mogÄ ich poszukaÄ i coĹ wstawiÄ ;]. Tam jeszcze jest kryterium o zagÄszczaniu, ale jego siÄ bardzo rzadko uĹźywa.

Kocur · Wysłany: 2009-12-13, 17:05

shawzy, No coĹ takiego mĂłwiĹ:) przynajmniej mam tak zapisane:)... widzÄ Ĺźe dodaĹeĹ:) zawsze 1 do przodu:) gz i thx