[Lukaszprzy]

WRY dał mi pierwszą listę zadań, a więc wrzucam
(żeby wyświetlić na pełnym ekranie kliknijcie na IMG)

[pit3r]

1(B)

Mamy pokazać, że

[anniselle]

Zadanie szĂłste

Przykład pierwszy:

* = *

Przykład drugi:

* * * * * * * * * * * *

Przykład trzeci:



Więcej na razie nie wrzucam bo samo wpisywanie tego w tym LaTeXie zajmuje mi zdecydowanie za dużo czasu :P

[pit3r]

Zadanie 3.
Mamy:

(A)




(B)


Wydaje mi się, że wystarczy uzasadnić, iż suma jest przemienna.

(C)




Zadanie 4

(A)
Weźmy dowolną parę <x,y> taką, że oraz




(B) analogicznie do podpunktu (A)

[shawnzy]

ZAD 9
a)
|a + b| <= |a| + |b|

1) a lub b = 0 - równość
2) a,b > 0 => x + y > 0
|a + b| = a + b = |a| + |b| - równość

3) a,b <0 => a + b < 0
|a + b| = - a - b = |a| + |b| - równość

4) a > 0, b < 0, a + b >= 0
|a + b| = a + b = |a| - |b| < |a| + |b| - <

5) a > 0, b < 0, a + b < 0
|a + b| = - (a + b) = - a - b = - |a| + |b| < |a| + |b| - <

Podobnie b)

[shawnzy]

ZAD 8


























dla a > 0, b > 0 jest zawsze prawdziwa

//chyba o to chodziło

[Kenzi]

[Kenzi]

Ogólnie z tymi zadaniami szału nie ma - indukcja, dowody itp... Dla mnie coś, czego nie pojmuję... Zrobiłem półtora zadania i daję sobie spokój, zobaczę jak ćwiczenia będą wyglądać. Z resztą... Shawzy zrobi :D.

ADD:

[Kenzi]

A propos zadania 10 - to jest moim zdaniem 'zadanie na gadanie'. Przykład:

[wybaczcie, nauczę się z tego korzystać, nie mam dziś czasu, na godzinkę tylko do zadań siadam]

ZbĂłr n-elementowy ma 2^n podzbiorĂłw.

[0 = zbiĂłr pusty]

KROK 1:
n=0
2^0 = 1
1 podzbiĂłr = (0)

KROK 2:
n=1
2^1 = 2
2 podzbiory = (A, 0)

KROK 3:
n=2
2^2 = 4
4 pozbiory = (A, B, AB, 0)

KROKI NASTĘPNE:
każdy następny krok to dodawanie kolejnego elementu (np. teraz C) do KAŻDEGO z podzbiorów w celu utworzenia nowego <=> z podwojeniem jego liczebności (np. A, B, AB, 0 i AC, BC, ABC i C).

Trochę słownie, ale o ile się nie mylę tak to powinno wyglądać.

[pit3r]

Do treści zadania 5 wkradł się błąd. Powinno być:
a)

[Kenzi]

pit3r koleś najpierw wyjaśnił to tak jak ja, no, ale potem dopiero zaczął rozwiązywać zadanie przez indukcję... czyli:
> założenie, że dla n elementów ilość podzbiorów to 2^n
> teza to pokazanie, że dla n+1 elementów ilość podzbiorów to 2^(n+1)
> zrobił podział:
- podgrupa P - podzbiory nie zawierające elementu (a[n+1]) [kwadratowy nawias = indeks dolny, sorry :)] - ich jest 2^n
- podgrupa Q - podzbiory zawierające ten element... i tutaj tak gadając i ogólnie z dupy biorąc stwierdził od razu jak ja, że ich jest jeszcze raz tyle czyli 2^n
> 2^n + 2^n = 2*2^n = 2^(n+1)
> co należało udowodnić [X] :D

maxdiaz jeśli chodzi o zadanie 8 - niby tak, ale jeśli już masz objaśnienie, że:

oraz


To porównywanie pierwszego z ostatnim elementem jest zupełnie niepotrzebne [ta środkowa 1/3 zadania jest zbędna]

A co do 9b) to stwierdził, że to jest podobne, że oczywiste, napisał jedną linijkę w sumie bezsensowną i skończył, natomiast dodał własny podpunkt c):

Kod:

|a| <= |a-b| + |b|

, ale i to sam rozwiązał, dyktując tylko rozwiązanie jakiemuś dziewczęciu, za co zarobiła 3 punkty :).

[anniselle]

No dobra. Powiedzmy, że mam zadanie siódme. Pewnie znów są jakieś błędy itp ale wstawiam - może pomoże komuś dojść do poprawnego rozwiązania ;)

Przykład pierwszy:



Z definicji średniej arytmetycznej:



Mamy:



Z własności sumy:

**

Podstawiamy:



Przykład drugi:



Z definicji średniej arytmetycznej:

[the_caroline]

czy zadanie 5, podpunkt A nie kojarzy Wam się trochę z tym wzorem z prawdopodobieństwa P(AuB) = P(A) + P(B) - P(A*iloczyn*B) ?... :P

sory za brak latexa ale mnie olśniło :P

[pit3r]

otóż ja już zdążyłem rachunek prawdopodobieństwa zapomnieć, więc robiłem to inaczej. Zaraz podam swoje rozwiązania p. Karolinko


SposĂłb I , wersja p. Karolinki :D

Mamy pokazać, że


Wykorzystujemy tutaj wiedzę odnośnie rachunku prawdopodobieństwa.

3 aksjomat prawdopodbieństwa mówi nam, że:
Jeżeli zdarzenie losowe Z jest sumą skończonej lub przeliczalnej liczby rozłącznych zdarzeń ... to prawdopodobieństwo zrealizowania się zdarzenia Z jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzeń

Zarówno sumę jak i sam zbiór B możemy zapisać jako sumy zdarzeń rozłącznych:



Teraz korzystamy z aksjomatu 3 i otrzymujemy:



Teraz pozostaje tylko odjąć stronami i otzrymujemy interesujący nas wzorek, czyli



SposĂłb II

Zauważmy, że jeśli , to oraz
jeśli , to
(A)



(B)

[Maciou]